Median of Two Sorted Arrays

描述

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元素中第k大的元素。

O(m+n)的解法比较直观，直接merge两个数组，然后求第k大的元素。

不过我们仅仅需要第k大的元素，是不需要“排序”这么昂贵的操作的。可以用一个计数器，记录当前已经找到第m大的元素了。同时我们使用两个指针pA和pB，分别指向A和B数组的第一个元素，使用类似于merge sort的原理，如果数组A当前元素小，那么pA++，同时m++；如果数组B当前元素小，那么pB++，同时m++。最终当m等于k的时候，就得到了我们的答案，O(k)时间，O(1)空间。但是，当k很接近m+n的时候，这个方法还是O(m+n)的。

有没有更好的方案呢？我们可以考虑从k入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第k大元素之前的元素，那么我们需要进行k次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于A和B都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。

假设A和B的元素个数都大于k/2，我们将A的第k/2个元素（即A[k/2-1]）和B的第k/2个元素（即B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设k为偶数，所得到的结论对于k是奇数也是成立的）：

• A[k/2-1] == B[k/2-1]
• A[k/2-1] > B[k/2-1]
• A[k/2-1] < B[k/2-1]

如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着A[0]到A[k/2-1]的肯定在$A \cup B$的top k元素的范围内，换句话说，A[k/2-1]不可能大于$A \cup B$的第k大元素。留给读者证明。

因此，我们可以放心的删除A数组的这k/2个元素。同理，当A[k/2-1] > B[k/2-1]时，可以删除B数组的k/2个元素。

当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2-1]或B[k/2-1]即可。

因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？

• 当A或B是空时，直接返回B[k-1]或A[k-1]；
• 当k=1是，返回min(A[0], B[0])；
• 当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，返回A[k/2-1]或B[k/2-1]

代码

// Median of Two Sorted Arrays
// Time Complexity: O(log(m+n))，Space Complexity: O(log(m+n))
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B) {
        const int total = A.size() + B.size();
        if (total %2 == 1)
            return find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1);
        else
            return (find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2)
                    + find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1)) / 2.0;
    }
private:
    static int find_kth(std::vector<int>::const_iterator A, int m, 
            std::vector<int>::const_iterator B, int n, int k) {
        //always assume that m is equal or smaller than n
        if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);
        if (m == 0) return *(B + k - 1);
        if (k == 1) return min(*A, *B);

        //divide k into two parts
        int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
        if (*(A + ia - 1) < *(B + ib - 1))
            return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
        else if (*(A + ia - 1) > *(B + ib - 1))
            return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
        else
            return A[ia - 1];
    }
};