Unique Binary Search Trees

描述

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example, Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析

如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。

 1       1           2          3       3
  \       \         / \        /       / 
   3       2       1   3      2       1
  /         \                /         \
2            3              1           2

比如,以1为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是0个元素的树,右子树是2个元素的树。以2为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是1个元素的树,右子树也是1个元素的树。依此类推。

当数组为 1,2,3,...,n时,基于以下原则的构建的BST树具有唯一性: \textbf{以i为根节点的树,其左子树由[1, i-1]构成, 其右子树由[i+1, n]构成。}

定义f(i)为以[1,i]能产生的Unique Binary Search Tree的数目,则

如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,f(0)=1

如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点,f(1)=1

如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能

1             2
  \          /
    2      1

f(2)=f(0)f(1) , when 1 as rootf(2) = f(0) * f(1) \text{ , when 1 as root}

+f(1)f(0) , when 2 as root+ f(1) * f(0) \text{ , when 2 as root}

再看一看3个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下:

f(3)=f(0)f(2) , when 1 as rootf(3) = f(0) * f(2) \text{ , when 1 as root}

+f(1)f(1) , when 2 as root+ f(1) * f(1) \text{ , when 2 as root}

+f(2)f(0) , when 3 as root+ f(2) * f(0) \text{ , when 3 as root}

所以,由此观察,可以得出f的递推公式为

f(i)=k=1if(k1)×f(ik)f(i) = \sum_{k=1}^{i} f(k-1) \times f(i-k)

至此,问题划归为一维动态规划。

代码

// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n + 1, 0);

        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= i; ++k)
                f[i] += f[k-1] * f[i - k];
        }

        return f[n];
    }
};

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