Unique Binary Search Trees
描述
Given n
, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n
?
For example,
Given n = 3
, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
分析
如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2
比如,以1为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是0个元素的树,右子树是2个元素的树。以2为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是1个元素的树,右子树也是1个元素的树。依此类推。
当数组为 1,2,3,...,n
时,基于以下原则的构建的BST树具有唯一性:
\textbf{以i为根节点的树,其左子树由[1, i-1]构成, 其右子树由[i+1, n]构成。}
定义f(i)
为以[1,i]
能产生的Unique Binary Search Tree的数目,则
如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,f(0)=1
。
如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点,f(1)=1
。
如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
再看一看3个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下:
所以,由此观察,可以得出f
的递推公式为
至此,问题划归为一维动态规划。
代码
// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> f(n + 1, 0);
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int k = 1; k <= i; ++k)
f[i] += f[k-1] * f[i - k];
}
return f[n];
}
};