Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown
描述
Almost the ame as Best Time to Buy and Sell Stock II but with one restriction: after you sell your stock, you cannot buy stock on next day. (ie, cooldown 1 day).
Example:
prices = [1, 2, 3, 0, 2]
maxProfit = 3
transactions = [buy, sell, cooldown, buy, sell]
分析
这题比Best Time to Buy and Sell Stock II多了一个cooldown的条件,就变得麻烦多了。这题是一个多阶段优化问题,首先范围缩小到广搜,贪心或者动规。因为每步之间互相牵连,贪心显然不行。广搜固然可以,不过是O(2^n)
复杂度,所以我们先考虑用动规。
对于每一天,有三种动作,buy, sell, cooldown, sell 和 cooldown 可以合并成一种状态,因为手里最终没有股票。最终需要的结果是 sell,即手里股票卖了获得最大利润。我们可以用两个数组来记录当前持股和未持股的状态,令sell[i]
表示第i天未持股时,获得的最大利润,buy[i]
表示第i天持有股票时,获得的最大利润。
对于sell[i]
,最大利润有两种可能,一是今天没动作跟昨天未持股状态一样,二是今天卖了股票,所以状态转移方程如下:
sell[i] = max{sell[i - 1], buy[i-1] + prices[i]}
对于buy[i]
,最大利润有两种可能,一是今天没动作跟昨天持股状态一样,二是前天卖了股票,今天买了股票,因为 cooldown 只能隔天交易,所以今天买股票要追溯到前天的状态。状态转移方程如下:
buy[i] = max{buy[i-1], sell[i-2] - prices[i]}
最终我们要求的结果是sell[n - 1]
,表示最后一天结束时,手里没有股票时的最大利润。
这个算法的空间复杂度是O(n)
,不过由于sell[i]
仅仅依赖前一项,buy[i]
仅仅依赖前两项,所以可以优化到O(1)
,具体见第二种代码实现。