Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown
描述
Almost the ame as Best Time to Buy and Sell Stock II but with one restriction: after you sell your stock, you cannot buy stock on next day. (ie, cooldown 1 day).
Example:
prices = [1, 2, 3, 0, 2]
maxProfit = 3
transactions = [buy, sell, cooldown, buy, sell]
分析
这题比Best Time to Buy and Sell Stock II多了一个cooldown的条件，就变得麻烦多了。这题是一个多阶段优化问题，首先范围缩小到广搜，贪心或者动规。因为每步之间互相牵连，贪心显然不行。广搜固然可以，不过是O(2^n)复杂度，所以我们先考虑用动规。
对于每一天，有三种动作，buy, sell, cooldown, sell 和 cooldown 可以合并成一种状态，因为手里最终没有股票。最终需要的结果是 sell，即手里股票卖了获得最大利润。我们可以用两个数组来记录当前持股和未持股的状态，令sell[i] 表示第i天未持股时，获得的最大利润，buy[i]表示第i天持有股票时，获得的最大利润。
对于sell[i]，最大利润有两种可能，一是今天没动作跟昨天未持股状态一样，二是今天卖了股票，所以状态转移方程如下：
sell[i] = max{sell[i - 1], buy[i-1] + prices[i]}
对于buy[i]，最大利润有两种可能，一是今天没动作跟昨天持股状态一样，二是前天卖了股票，今天买了股票，因为 cooldown 只能隔天交易，所以今天买股票要追溯到前天的状态。状态转移方程如下：
buy[i] = max{buy[i-1], sell[i-2] - prices[i]}
最终我们要求的结果是sell[n - 1]，表示最后一天结束时，手里没有股票时的最大利润。
这个算法的空间复杂度是O(n)，不过由于sell[i]仅仅依赖前一项，buy[i]仅仅依赖前两项，所以可以优化到O(1)，具体见第二种代码实现。