Factorial Trailing Zeroes

描述

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

分析

对任意一个正整数n进行质因数分解，$n = 2^x*3^y*5^z...$ ，末尾0的个数M与2和5的个数即X、Z有关，每一对2和5都可以得到10，故M=min(X,Z)。又因为能被2整除的数出现的频率要比能被5整除的数出现的频率高，所以M=Z。所以只要计算出Z，就可以得到n!的末尾0的个数。

解法1

// Factorial Trailing Zeroes
// TLE
// Time Complexity: O(nlogn), Space Complexity: O(1)
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int result = 0;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int j = i;
            while (j % 5 == 0) {
                ++result;
                j /= 5;
            }
        }
        return result;
    }
}

解法2

上面的解法会超时，可以优化一下。

可以用公式计算出末尾0的个数，$Z=N/5 + N/5^2 + N/5^3 + ...$ ，$N/5$ 表示从1到N中能被5整除的数的个数，由于每个数都能贡献一个5，意味着能贡献一个0。$N/5^2$ 表示从1到N中能被 $5^2$ 整除的数的个数，每个数都能贡献2个5，意味着能贡献两个0，不过由于其中一次已经包含在 $N/5$ 中了，只能再贡献一个0，依次类推。

// Factorial Trailing Zeroes
// Time Complexity: O(logn), Space Complexity: O(1)
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int result = 0;

        while (n > 0) {
            result += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return result;
    }
}