如何计算数据流中不同元素的个数？例如，独立访客(Unique Visitor，简称UV)统计。这个问题称为基数估计(Cardinality Estimation)，也是一个很经典的题目。

方案1: HashSet

首先最容易想到的办法是用HashSet，每来一个元素，就往里面塞，HashSet的大小就所求答案。但是在大数据的场景下，HashSet在单机内存中存不下。

方案2: bitmap

HashSet耗内存主要是由于存储了元素的真实值，可不可以不存储元素本身呢？bitmap就是这样一个方案，假设已经知道不同元素的个数的上限，即基数的最大值，设为N，则开一个长度为N的bit数组，地位跟HashSet一样。每个元素与bit数组的某一位一一对应，该位为1，表示此元素在集合中，为0表示不在集合中。那么bitmap中1的个数就是所求答案。

这个方案的缺点是，bitmap的长度与实际的基数无关，而是与基数的上限有关。假如要计算上限为1亿的基数，则需要12.5MB的bitmap，十个网站就需要125M。关键在于，这个内存使用与集合元素数量无关，即使一个网站仅仅有一个1UV，也要为其分配12.5MB内存。该算法的空间复杂度是$O(N_{max})$。

实际上目前还没有发现在大数据场景中准确计算基数的高效算法，因此在不追求绝对准确的情况下，使用近似算法算是一个不错的解决方案。

方案3: Linear Counting

Linear Counting的基本思路是：

• 选择一个哈希函数h，其结果服从均匀分布
• 开一个长度为m的bitmap，均初始化为0(m设为多大后面有讨论)
• 数据流每来一个元素，计算其哈希值并对m取模，然后将该位置为1
• 查询时，设bitmap中还有u个bit为0，则不同元素的总数近似为 $-m\log\dfrac{u}{m}$

在使用Linear Counting算法时，主要需要考虑的是bitmap长度m。m主要由两个因素决定，基数大小以及容许的误差。假设基数大约为n，允许的误差为ϵ，则m需要满足如下约束，

$m > \dfrac{\epsilon^t-t-1}{(\epsilon t)^2}$, 其中 $t=\dfrac{n}{m}$

精度越高，需要的m越大。

Linear Counting 与方案1中的bitmap很类似，只是改善了bitmap的内存占用，但并没有完全解决，例如一个网站只有一个UV，依然要为其分配m位的bitmap。该算法的空间复杂度与方案2一样，依然是$O(N_{max})$。

方案4: LogLog Counting

LogLog Counting的算法流程：

1. 均匀随机化。选取一个哈希函数h应用于所有元素，然后对哈希后的值进行基数估计。哈希函数h必须满足如下条件，

   1. 哈希碰撞可以忽略不计。哈希函数h要尽可能的减少冲突
   2. h的结果是均匀分布的。也就是说无论原始数据的分布如何，其哈希后的结果几乎服从均匀分布（完全服从均匀分布是不可能的，D. Knuth已经证明不可能通过一个哈希函数将一组不服从均匀分布的数据映射为绝对均匀分布，但是很多哈希函数可以生成几乎服从均匀分布的结果，这里我们忽略这种理论上的差异，认为哈希结果就是服从均匀分布）。
   3. 哈希后的结果是固定长度的

2. 对于元素计算出哈希值，由于每个哈希值是等长的，令长度为L

3. 对每个哈希值，从高到低找到第一个1出现的位置，取这个位置的最大值，设为p，则基数约等于$2^p$

如果直接使用上面的单一估计量进行基数估计会由于偶然性而存在较大误差。因此，LLC采用了分桶平均的思想来降低误差。具体来说，就是将哈希空间平均分成m份，每份称之为一个桶（bucket）。对于每一个元素，其哈希值的前k比特作为桶编号，其中$2^k=m$，而后L-k个比特作为真正用于基数估计的比特串。桶编号相同的元素被分配到同一个桶，在进行基数估计时，首先计算每个桶内最大的第一个1的位置，设为p[i]，然后对这m个值取平均后再进行估计，即基数的估计值为$2^{\frac{1}{m}\Sigma_{i=0}^{m-1} p[i]}$。这相当于做多次实验然后去平均值，可以有效降低因偶然因素带来的误差。

LogLog Counting 的空间复杂度仅有$O(\log_2(\log_2(N_{max})))$，内存占用极少，这是它的优点。不过LLC也有自己的缺点，当基数不是很大的时候，误差比较大。

关于该算法的数学证明，请阅读原始论文和参考资料里的链接，这里不再赘述。

方案5: HyperLogLog Counting

HyperLogLog Counting（以下简称HLLC）的基本思想是在LLC的基础上做改进，

• 第1个改进是使用调和平均数替代几何平均数，调和平均数可以有效抵抗离群值的扰。注意LLC是对各个桶取算术平均数，而算术平均数最终被应用到2的指数上，所以总体来看LLC取的是几何平均数。由于几何平均数对于离群值（例如0）特别敏感，因此当存在离群值时，LLC的偏差就会很大，这也从另一个角度解释了为什么基数n不太大时LLC的效果不太好。这是因为n较小时，可能存在较多空桶，这些特殊的离群值干扰了几何平均数的稳定性。使用调和平均数后，估计公式变为 $\hat{n}=\frac{\alpha_mm^2}{\Sigma_{i=0}^{m-1} p[i]}$，其中$\alpha_m=(m\int_0^{\infty}(log_2(\frac{2+u}{1+u}))^mdu)^{-1}$

• 第2个改进是加入了分段偏差修正。具体来说，设e为基数的估计值，

  • 当 $e \leq \frac{5}{2}m$时，使用 Linear Counting
  • 当 $\frac{5}{2}m<e\leq \frac{1}{30}2^{32}$时，使用 HyperLogLog Counting
  • 当 $e>\frac{1}{30}2^{32}$时，修改估计公式为$\hat{n}=-2^{32}\log(1-e/2^{32})$

关于分段偏差修正的效果分析也可以在原论文中找到。

参考资料

• 解读Cardinality Estimation算法（第一部分：基本概念）
• 解读Cardinality Estimation算法（第二部分：Linear Counting）
• 解读Cardinality Estimation算法（第三部分：LogLog Counting）
• 解读Cardinality Estimation算法（第四部分：HyperLogLog Counting及Adaptive Counting）