Factorial Trailing Zeroes

描述

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

分析

对任意一个正整数n进行质因数分解,n=2x3y5z...n = 2^x*3^y*5^z... ,末尾0的个数M与2和5的个数即X、Z有关,每一对2和5都可以得到10,故M=min(X,Z)。又因为能被2整除的数出现的频率要比能被5整除的数出现的频率高,所以M=Z。所以只要计算出Z,就可以得到n!的末尾0的个数。

解法1

// Factorial Trailing Zeroes
// TLE
// Time Complexity: O(nlogn), Space Complexity: O(1)
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int result = 0;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int j = i;
            while (j % 5 == 0) {
                ++result;
                j /= 5;
            }
        }
        return result;
    }
}

解法2

上面的解法会超时,可以优化一下。

可以用公式计算出末尾0的个数,Z=N/5+N/52+N/53+...Z=N/5 + N/5^2 + N/5^3 + ...N/5N/5 表示从1到N中能被5整除的数的个数,由于每个数都能贡献一个5,意味着能贡献一个0。N/52N/5^2 表示从1到N中能被 525^2 整除的数的个数,每个数都能贡献2个5,意味着能贡献两个0,不过由于其中一次已经包含在 N/5N/5 中了,只能再贡献一个0,依次类推。

// Factorial Trailing Zeroes
// Time Complexity: O(logn), Space Complexity: O(1)
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int result = 0;

        while (n > 0) {
            result += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return result;
    }
}

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